?2022年自考27707經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

自考復(fù)習(xí)需要重視考試大綱，考試命題是圍繞大綱來(lái)的，所以復(fù)習(xí)一定要緊扣考試大綱，再結(jié)合考試大綱來(lái)弄懂重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)。因?yàn)榭荚嚧缶V一般都是含有命題來(lái)指導(dǎo)思想工作、考試范圍、命題要求等重要信息。為了輔助各位考生學(xué)習(xí)，希賽網(wǎng)自考頻道為各位考生整理了2022年自考27707經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，希望能對(duì)大家有所幫助。

2022年自考27707經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

一、課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求

（一）課程性質(zhì)、地位和和任務(wù)

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程是經(jīng)濟(jì)類(lèi)和管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，其主要任務(wù)是培養(yǎng)經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的自學(xué)者系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分的基本概念、基本理論、基本原理，通過(guò)對(duì)微積分的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，邏輯推理的能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)或?yàn)榭忌窈髲氖陆?jīng)濟(jì)管理相關(guān)業(yè)務(wù)或工作打下良好的基礎(chǔ)。

（二）本課程的基本要求和重點(diǎn)

通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下要求：

1．獲得一元函數(shù)微積分學(xué)的系統(tǒng)的基本知識(shí)、基本理論和基本方法，特別是一元微積分學(xué)處理問(wèn)題的思路和方法；

2．獲得多元函數(shù)微分學(xué)的初步知識(shí)。

本課程的重點(diǎn)是一元函數(shù)的極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用?？紤]到經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)，本著打好基礎(chǔ)、著重應(yīng)用為原則，要求學(xué)員理解課程中的基本概念和它們之間的聯(lián)系，掌握基本的運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧，以及這些概念和方法在經(jīng)濟(jì)中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。課程中的有關(guān)定理只要知道定理成立的條件和可以得到的結(jié)論，定理的證明以及與經(jīng)濟(jì)方面關(guān)系不大的內(nèi)容不作要求。

（三）本課程與相關(guān)課程的聯(lián)系

微積分以函數(shù)為研究對(duì)象，本課程主要包括函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分和積分等概念、方法、計(jì)算和應(yīng)用，而極限是闡明這些概念和方法的基本工具。為此，考生在學(xué)習(xí)本課程時(shí)應(yīng)具備高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。另一方面，本課程又為經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)各專(zhuān)業(yè)的后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

第一章 函數(shù)與極限

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．函數(shù)的概念（函數(shù)的定義、定義域、表示方法）；

2．函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性）；

3．復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)；

4．初等函數(shù)和分段函數(shù)；

5．?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限的概念，極限的基本運(yùn)算法則；

6．無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念、相互關(guān)系、無(wú)窮小的性質(zhì)與無(wú)窮小量的比較；

7．兩個(gè)重要的極限；

8．函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

9．經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常見(jiàn)的函數(shù)（需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)）；

二、自學(xué)要求

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，它從數(shù)學(xué)上反映各種實(shí)際現(xiàn)象中量與量之間的依賴(lài)關(guān)系，是微積分的主要研究對(duì)象。而極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，微積分中的基本概念都是運(yùn)用極限方法闡述的。連續(xù)函數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的函數(shù)。所以，學(xué)習(xí)本章將為以后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。

本章總的要求是：理解一元函數(shù)的定義及函數(shù)與圖形之間的關(guān)系；了解函數(shù)的幾種常用的表示方法；理解函數(shù)的幾種基本性質(zhì)；理解函數(shù)的反函數(shù)及它們的圖像之間的關(guān)系；掌握函數(shù)的復(fù)合和分解；熟練掌握基本初等函數(shù)及其圖形的形態(tài)；知道什么是初等函數(shù)；知道幾種常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)；能從比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題建立其中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系；理解極限和無(wú)窮小量的概念以及它們之間的關(guān)系，掌握無(wú)窮小量的基本性質(zhì)和極限的運(yùn)算法則，清楚無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系；熟練掌握兩個(gè)重要的極限；理解無(wú)窮小的比較和高階無(wú)窮小的概念；理解函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)，知道初等函數(shù)的連續(xù)性；清楚閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

本章重點(diǎn)：函數(shù)的概念和基本初等函數(shù)；極限和無(wú)窮小量的概念及其性質(zhì)，極限的運(yùn)算法則，兩個(gè)重要的極限，函數(shù)的連續(xù)性。

本章難點(diǎn)：函數(shù)的復(fù)合；極限的概念。

三、考核要求

1．理解函數(shù)的基本概念，會(huì)熟練地求函數(shù)的定義域和求給定函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值；

2．掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性的定義，會(huì)判斷所給函數(shù)具有的性質(zhì)；

3．理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程；了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)；

4．熟練掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖像；掌握初等函數(shù)的概念，會(huì)求分段函數(shù)的定義域和函數(shù)值；

5．會(huì)建立簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式，其中包括需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)；

6．了解數(shù)列極限的概念，會(huì)用觀察法判斷數(shù)列的極限是否存在；

7．了解函數(shù)極限的概念；掌握極限的性質(zhì)以及極限的四則運(yùn)算法則

8．理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念、掌握它們之間的相互關(guān)系，掌握無(wú)窮小的性質(zhì)，會(huì)對(duì)連個(gè)無(wú)窮小量的階（等價(jià)、高階、低階、同階）進(jìn)行比較；

9．掌握兩個(gè)重要的極限并能熟練地利用它們求極限；

10．理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和間斷的概念，了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)性；知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

11．掌握求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處極限的方法，會(huì)討論這些點(diǎn)處的連續(xù)性。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義和物理意義；

2．函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

3．函數(shù)的各種求導(dǎo)法則；

4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

5．高階導(dǎo)數(shù)；

6．微分的定義和微分的基本公式及運(yùn)算法則；

二、自學(xué)要求

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)中兩個(gè)重要的、密切相關(guān)的概念。它們的產(chǎn)生是由于廣泛而迫切的實(shí)際需要（如求曲線的切線、運(yùn)動(dòng)的速度等），在科學(xué)和工程技術(shù)中有及其廣泛的應(yīng)用。

本章總的要求是：理解導(dǎo)數(shù)和微分的定義，清楚它們之間的關(guān)系；知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義和實(shí)際意義；知道平面曲線的切線方程的求法；了解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系；熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)的各種法則，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。

本章重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義和作為變化率的實(shí)際意義，各種求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分公式。

本章難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

三、考核要求

1．理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程，了解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義討論簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

2．熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；

3．掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

4．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單分段函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；

5．理解微分的概念，了解導(dǎo)數(shù)和微分之間的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分，了解微分的四則運(yùn)算法則，一階微分的形式不變性，了解在近似計(jì)算中的應(yīng)用；

第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．中值定理；

2．羅必達(dá)法則；

3．函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；

4．曲線的凹凸性與拐點(diǎn)；

5．經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際函數(shù)和彈性函數(shù)。

二、自學(xué)要求

本章主要介紹微分學(xué)在研究函數(shù)的性態(tài)和有關(guān)實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，這些應(yīng)用的基礎(chǔ)就是微分中值定理。

本章總的要求是：能夠準(zhǔn)確陳述微分中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理）；熟練掌握羅必達(dá)法則；會(huì)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)的極值的概念并掌握其求法；了解函數(shù)的最值及其求法并能解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；了解曲線的凹凸性及其拐點(diǎn)的概念，會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線的凹凸性和計(jì)算拐點(diǎn)的坐標(biāo)；理解函數(shù)的邊際函數(shù)和彈性及其意義。

本章重點(diǎn)：羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，羅必達(dá)法則，函數(shù)的單調(diào)性的判定，函數(shù)的極值、最值及其求法和實(shí)際應(yīng)用。

本章難點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用，邊際函數(shù)和彈性函數(shù)。

三、考核要求

1．了解羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，知道定理的條件和結(jié)論，會(huì)判斷函數(shù)在指定的區(qū)間上是否滿足定理的條件，且會(huì)求滿足定理的點(diǎn)

3．了解函數(shù)的極值、極值點(diǎn)、駐點(diǎn)的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)求函數(shù)的極大、極小值，能解決簡(jiǎn)單的求最值的應(yīng)用問(wèn)題；

4．了解曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義，會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)圖像的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)；

5．掌握導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用（邊際成本、邊際收入、需求彈性，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題）；

第四章 不定積分

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)；

2．不定積分的基本積分公式；

3．換元積分（第一換元積分、第二換元積分）；

4．分步積分法；

二、自學(xué)要求

一元函數(shù)積分學(xué)是微積分學(xué)的另一個(gè)重要組成部分，不定積分可以看成是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，與微分學(xué)一樣，積分學(xué)具有十分廣泛的應(yīng)用。

本章總的要求是：理解原函數(shù)和不定積分的概念，清楚微分運(yùn)算和不定積分運(yùn)算之間的關(guān)系；熟悉不定積分的基本性質(zhì)；熟記不定積分的基本公式,熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法，能熟練地求不定積分，利用初值條件解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

本章重點(diǎn)：不定積分的概念及其計(jì)算。

本章難點(diǎn)：求不定積分。

三、考核要求

1．理解原函數(shù)和不定積分的概念及其它們之間的關(guān)系，掌握不定積分的基本性質(zhì)；

2．掌握基本積分公式，掌握直接積分法，會(huì)求簡(jiǎn)單的有理分式和三角函數(shù)的不定積分；

3．掌握計(jì)算不定積分的第一、第二換元積分法和分部積分法；

4．會(huì)利用初值條件解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

第五章 定積分

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．定積分的概念，定積分的基本性質(zhì)；

2．變上限積分和牛頓-萊布尼茨公式；

3．定積分的換元積分和分部積分；

4．無(wú)限區(qū)間上的廣義積分；

5．定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。

二、自學(xué)要求

一元函數(shù)積分學(xué)是微積分學(xué)的另一個(gè)重要組成部分，定積分源于曲邊圖形的面積計(jì)算和已知物體運(yùn)動(dòng)的速度求行走的路程等實(shí)際問(wèn)題，與微分學(xué)一樣，積分學(xué)具有十分廣泛的應(yīng)用。

本章總的要求是：理解定積分的概念及其幾何意義；熟悉定積分的基本性質(zhì)；理解由變上限積分所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式,掌握牛頓-萊布尼茨公式；熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法，能熟練地求定積分；清楚無(wú)限區(qū)間上廣義積分的概念，在比較簡(jiǎn)單的情況下會(huì)依據(jù)定義判別它是否收斂，并在收斂時(shí)求出其值；會(huì)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

本章重點(diǎn)：變上限積分求導(dǎo)公式和牛頓-萊布尼茨公式，定積分的應(yīng)用。

本章難點(diǎn)：定積分的計(jì)算，定積分的應(yīng)用。

三、考核要求

1．了解定積分的概念，知道函數(shù)可積的條件，掌握定積分的基本性質(zhì)；

2．了解變上限定積分是積分上限函數(shù)的概念，掌握對(duì)變上限的定積分求導(dǎo)的方法，會(huì)用它來(lái)求不定式的極限及解決一些簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題；

3．掌握牛頓-萊布尼茨公式，掌握定積分的第一、第二換元積分法和奇、偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)積分區(qū)間上積分的性質(zhì)，掌握定積分的分部積分法，會(huì)求分段函數(shù)的積分；

4．知道無(wú)限區(qū)間上的廣義積分收斂和發(fā)散的概念，且會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的無(wú)限區(qū)間上的廣義積分；

5．掌握定積分計(jì)算簡(jiǎn)單的平面圖形的面積的方法，會(huì)利用定積分求解一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

第六章 二元函數(shù)的微分學(xué)

一、考核知識(shí)點(diǎn)

1．空間直角坐標(biāo)系及曲面方程；

2．二元函數(shù)的概念（定義、極限、連續(xù)）；

3．二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二階偏導(dǎo)數(shù)；

4．復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；

5．二元函數(shù)的極值及其求法。

二、自學(xué)要求

多元函數(shù)的微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的自然發(fā)展，它的許多重要概念和處理問(wèn)題的思想、方法與一元函數(shù)微分學(xué)的情形十分相似，前者以后者為基礎(chǔ)；另一方面，隨著變量的增多，其內(nèi)容也更加豐富。由于許多實(shí)際問(wèn)題常常涉及到多個(gè)變量，所以多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用非常廣泛。我們以二元函數(shù)微分學(xué)為主。

本章總的要求是：理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義；清楚偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；了解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義即混合偏導(dǎo)數(shù)在一定條件下與對(duì)變量求偏導(dǎo)次序的無(wú)關(guān)性；掌握復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；理解二元函數(shù)的極值概念并掌握其求法。

本章重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及其計(jì)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

本章難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)。

三、考核要求

1．了解二元函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的定義域和函數(shù)值；

2．了解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，熟練掌握二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法；掌握二元函數(shù)全微分的求法；

3．會(huì)求簡(jiǎn)單的二元復(fù)合函數(shù)和二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

4．會(huì)求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；

5．了解二元函數(shù)極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。

三、有關(guān)說(shuō)明和實(shí)施要求

（一）關(guān)于“課程內(nèi)容與考核目標(biāo)”中有關(guān)提法的說(shuō)明

在大綱的考核要求中，考核目標(biāo)中能力層次的含義：識(shí)記部分從易到難依次為知道、了解、理解；計(jì)算與應(yīng)用部分從易到難依次為會(huì)、掌握、熟練掌握。

（二）自學(xué)教材

自學(xué)教材：《實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分》，張唯春主編，東北大學(xué)出版社，2008年。

考生可自選參考書(shū)：《微積分——自學(xué)與考試參考題集》，楮永增主編，中國(guó)人民大學(xué)出版社，1999年11月第一版。

（三）自學(xué)方法的指導(dǎo)

微積分是一門(mén)系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)員必須具有初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)才能比較順利地學(xué)習(xí)微積分。學(xué)員必須按照大綱的要求從最基本的概念、理論、計(jì)算、應(yīng)用入手，搞清楚各概念的含義以及它們之間的關(guān)系，通過(guò)做大量的練習(xí)，熟練地掌握各種計(jì)算方法和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)員在做練習(xí)的過(guò)程中，要善于歸納，找出解題的一般思路及基本的解題方法。做題必須從最基本的開(kāi)始，基礎(chǔ)打好了，才能解決一些比較綜合性的題目，不要一味地鉆難題、怪題、偏題。專(zhuān)

（四）對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求

1．應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程所提出的總的要求和各章的知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確理解對(duì)各知識(shí)點(diǎn)要達(dá)到的認(rèn)知層次和考核要求，并在輔導(dǎo)過(guò)程中幫助考生掌握這些要求，不要隨意增刪內(nèi)容和提高或降低要求。

2．要結(jié)合典型例子，講清楚基本的概念、定理、公式和法則，重點(diǎn)、難點(diǎn)要講透，引導(dǎo)學(xué)生注意基本理論的學(xué)習(xí)；更要十分重視基本的計(jì)算方法和計(jì)算技巧的講解，幫助考生真正達(dá)到考核的要求，并培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)風(fēng)氣，提高自學(xué)能力。不要猜題、押題。

3．要使考生認(rèn)識(shí)到輔導(dǎo)課只能起到“領(lǐng)進(jìn)門(mén)”的作用，聽(tīng)懂不等于真懂，關(guān)鍵還在于自己練，應(yīng)要求考生課后抓緊復(fù)習(xí)，認(rèn)真做題。

（五）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

1．根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的統(tǒng)一要求，以后試卷中的正切函數(shù)、余切函數(shù)、反正切函數(shù)

2．試卷對(duì)不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“識(shí)記”為20%；“領(lǐng)會(huì)”10%；“掌握”30%；“熟練掌握”為40%。

3．試題難易程度要合理，可分為四檔：易、較易、較難、難，這四檔在各份試卷中所占的比例約為4：3：2：1。

4．本課程考試可能采用的題型有：填空題 ，單項(xiàng)選擇題，計(jì)算題，應(yīng)用題，證明題。

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