?2021年10月自考線性代數(shù)02198考前復(fù)習(xí)資料三

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2021年10月自考線性代數(shù)02198考前復(fù)習(xí)資料三

一、重點(diǎn)

1、理解：向量、向量運(yùn)算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無關(guān)組的概念，線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質(zhì)，基礎(chǔ)解系的概念。

2、掌握：向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，矩陣秩的計(jì)算，齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

3、運(yùn)用：線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定，線性方程組解的判斷，齊次、非齊次線性方程組的解法。

二、難點(diǎn)

線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯(lián)系。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析

1、n維向量的概念與運(yùn)算

1)概念

2)運(yùn)算

若α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T

①加法：α+β=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)T

②數(shù)乘：kα=(ka1，ka2，…，kan)T

③內(nèi)積：(α。β)=a1b1+a2b2+，…，+anbn=αTβ=βTα

2、線性組合與線性表出

3、線性相關(guān)與線性無關(guān)

1)概念

2)線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件

①線性相關(guān)

α1，α2，…，αs線性相關(guān)

<==>齊次方程組(α1，α2，…，αs)(x1，x2，…，xs)T=0有非零解

<==>向量組的秩r(α1，α2，…，αs)<s(向量的個(gè)數(shù))< p="">

<==>存在某αi(i=1，2，…，s)可由其余s-1個(gè)向量線性表出

特別的：n個(gè)n維向量線性相關(guān)<==>│α1α2…αn│=0

n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)

②線性無關(guān)

α1，α2，…，αs線性無關(guān)

<==>齊次方程組(α1，α2，…，αs)(x1，x2，…，xs)T=0只有零解

<==>向量組的秩r(α1，α2，…，αs)=s(向量的個(gè)數(shù))

<==>每一個(gè)向量αi(i=1，2，…，s)都不能用其余s-1個(gè)向量線性表出

③重要結(jié)論

A、階梯形向量組一定線性無關(guān)

B、若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則它的任一個(gè)部分組αi1，αi2，…，αi t必線性無關(guān)，它的任一延伸組必線性無關(guān)。

C、兩兩正交，非零的向量組必線性無關(guān)。

4、向量組的秩與矩陣的秩

1)極大線性無關(guān)組的概念

2)向量組的秩

3)矩陣的秩

①r(A)=r(AT)

②r(A+B)≤r(A)+r(B)

③r(kA)=r(A)，k≠0

④r(AB)≤min(r(A)，r(B))

⑤如A可逆，則r(AB)=r(B);如B可逆，則r(AB)=r(A)

⑥A是m×n陣，B是n×p陣，如AB=0，則r(A)+r(B)≤n

4)向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系

①r(A)=A的行秩(矩陣A的行向量組的秩)=A的列秩(矩陣A的列向量組的秩)

②經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變

③若向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出，則r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特別的，等價(jià)的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價(jià)。

5、基礎(chǔ)解系的概念及求法

1)概念

2)求法

對(duì)A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱每個(gè)非零行中第一個(gè)非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元(共有r(A)個(gè)主元)，那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量(共有n-r(A)個(gè))，對(duì)自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎(chǔ)解系。

6、齊次方程組有非零解的判定

1)設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0有非零解的充要條件是r(A)<n，亦即a的列向量線性相關(guān)。< p="">

2)若A為n階矩陣，Ax=0有非零解的充要條件是│A│=0

3)Ax=0有非零解的充分條件是m<n，即方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)數(shù)< p="">

7、非齊次線性方程組有解的判定

1)設(shè)A是m×n矩陣，Ax=b有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣(A增)的秩，即r(A)=r(A增)

2)設(shè)A是m×n矩陣，方程組Ax=b

①有唯一解<==>r(A)=r(A增)=n

②有無窮多解<==>r(A)=r(A增)

③無解<==>r(A)+1=r(A增)

8、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

如n元線性方程組Ax=b有解，設(shè)，η2，…，ηt是相應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，ξ是Ax=b的一個(gè)解，則k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。

1)若ξ1，ξ2是Ax=b的解，則ξ1-ξ2是Ax=0的解

2)若ξ是Ax=b的解，η是Ax=0的解，則ξ+kη仍是Ax=b的解

3)若Ax=b有唯一解，則Ax=0只有零解;反之，當(dāng)Ax=0只有零解時(shí)，Ax=b沒有無窮多解(可能無解，也可能只有唯一解)

四、題型及解題思路

1、有關(guān)n維向量概念與性質(zhì)的命題

2、向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算

3、線性相關(guān)與線性無關(guān)的證明

1)定義法

設(shè)k1α1+k2α2+…+ksαs=0，然后對(duì)上式做恒等變形(要向已知條件靠攏!)

①由B=C可得AB=AC，因此，可按已知條件的信息對(duì)上式乘上某個(gè)A

②展開整理上式，直接用已知條件轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組，最后通過分析論證k1，k2，…，ks的取值，得出所需結(jié)論。

2)用秩(等于向量個(gè)數(shù))

3)齊次方程組只有零解

4)反證法

4、求給定向量組的秩和極大線性無關(guān)組

多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過初等變換來求解。

5、求矩陣的秩

常用初等變換法。

6、求解齊次線性方程組與非齊次線性方程組

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