?2021年10月自考線性代數(shù)02198考前復(fù)習(xí)資料二

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2021年10月自考線性代數(shù)02198考前復(fù)習(xí)資料二

一、重點(diǎn)

1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣(零矩陣，上(下)三角矩陣，對(duì)稱矩陣，對(duì)角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣)

2、掌握：

1)矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律

2)矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法

3)矩陣的初等變換方法

二、難點(diǎn)

1、矩陣的求逆矩陣的初等變換

2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系

三、重要公式及難點(diǎn)解析

1、線性運(yùn)算

1)交換律一般不成立，即AB≠BA

2)一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣

(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

(AB)k≠AkBk

(A+B)(A-B)≠A2-B2

以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。

3)由AB=0不能得出A=0或B=0

4)由AB=AC不能得出B=C

5)由A2=A不能得出A=I或A=0

6)由A2=0不能得出A=0

7)數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別

2、逆矩陣

1)(A–1)–1=A

2)(kA)–1=(1/k)A–1，(k≠0)

3)(AB)–1=B–1A–1

4)(A–1)T=(AT)–1

5)│A–1│=│A│–1

3、矩陣轉(zhuǎn)置

1)(AT)T=A

2)(kA)T=kAT，(k為任意實(shí)數(shù))

3)(AB)T=BTAT

4)(A+B)T=AT+BT

4、伴隨矩陣

1)A*A=A A*=│A│I(AB)*=B*A*

2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1，(n≥2)

3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*

4)若r(A)=n，則r(A*)=n

若r(A)=n-1，則r(A*)=1

若r(A)

5)若A可逆，則(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1=(A-1)*，A*=│A│A-1

5、初等變換(三種)

1)對(duì)調(diào)二行(列)

2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素

3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素

注意：用初等變換①求秩，行、列變換可混用

②求逆陣，只能用行或列變換

③求線性方程組的解，只能用行變換

6、初等矩陣

1)由單位陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣

2)初等陣P左(右)乘A，所得PA(AP)就是A作了一次與P同樣的行(列)變換

3)初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣

E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k)

7、矩陣方程

1)含有未知矩陣的等式

2)矩陣方程有解的充要條件

AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量線性表示

<==>r(A)=r(A┆B)

四、題型及解題思路

1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題

2、矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置)

3、矩陣可逆的判定

n階方陣A可逆<==>存在n階方陣B，有AB=BA=I

<==>│A│≠0

<==>r(A)=n

<==>A的列(行)向量組線性無(wú)關(guān)

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b，使得Ax=b總有唯一解

<==>A的特征值全不為零

4、矩陣求逆

1)定義法：找出B使AB=I或BA=I

2)伴隨陣法：A-1=(1/│A│)A*

注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏(-1)i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。

3)初等變換法：對(duì)(A┆I)只用行變換化為(I┆A-1)

4)分塊矩陣法

5、解矩陣方程AX=B

1)若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2)若A可逆，可用初等變換法直接求出X

(A┆B)初等行變換(I┆X)

3)若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對(duì)每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。

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