?2023年河北專升本高等數(shù)學 (一)考試大綱

2023年河北專升本高等數(shù)學 (一)考試大綱

I. 課程簡介

一、內(nèi)容概述與總要求

高等數(shù)學考試是為招收理工類、經(jīng)管類及農(nóng)學類各專業(yè)專升本學生而實施的入學考試。 為了體現(xiàn)上述不同類別各專業(yè)對專升本學生入學應具備的數(shù)學知識和能力的不同要求，高等 數(shù)學考試分為高等數(shù)學 ( 一) (理工類) 考試、高等數(shù)學 (二)  (經(jīng)管、農(nóng)學類) 考試，每 一類考試單獨編制試卷。

參加高等數(shù)學 ( 一) 考試的考生應理解或了解《高等數(shù)學》中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元 函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、 常微分方程以及《線性代數(shù)》中行列式、矩陣、線性方程組的基本概念與基本理論；掌握或 學會上述各部分的基本方法；注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應具有一定的運算 能力、邏輯推理能力、空間想象能力和抽象思維能力；能運用基本概念、基本理論和基本方 法準確、簡捷地進行計算，正確地推理證明；注重數(shù)學應用能力的培養(yǎng)，能綜合運用所學知 識分析并解決較簡單的實際問題。數(shù)學考試從兩個層次上對考生進行測試，較高層次的要求 為“理解” 和“掌握” ，較低層次的要求為“了解”和“會” 。這里“理解”和“了解” 是對概念與理論提出的要求。“掌握”和“會”是對方法、運算能力及應用能力提出的要求。

二、  考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為 100 分，考試時間為 60 分鐘。

試卷包括選擇題、填空題、計算題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空 題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計算過程；計算題、應用題均應寫出文字說明及演算步驟。

選擇題和填空題分值合計為 50 分。其余類型題目分值合計為 50 分。

高等數(shù)學 ( 一) 中《高等數(shù)學》與《線性代數(shù)》試題的分值比例約為 84:16。

II.  知識要點與考核要求

一、函數(shù)、極限與連續(xù)

( 一) 函數(shù)

1.  知識范圍

函數(shù)的概念及表示法  分段函數(shù)  函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性和周期性  復合函 數(shù)、  反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)  基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形  初等函數(shù)  簡單應用問題函數(shù)關(guān)系的建立。

2.  考核要求

(1) 理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。

(2) 了解函數(shù)的簡單性質(zhì)，會判斷函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性、周期性。

(3) 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

(4) 理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；掌握將一個復合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或者簡單函數(shù)的復合的方法。

(5) 會建立實際問題中的函數(shù)關(guān)系式并利用函數(shù)關(guān)系分析和解決較簡單的實際問題。

(二)極限

1.  知識范圍

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左、右極限 極限的四則運算 無窮小 無窮大 無窮小的比較。

兩個重要極限：

2.  考核要求

(1) 理解極限的概念(對極限定義中等形式的描述不作要求)，理解函數(shù)左、右極限的概念以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系，了解自 變量趨向于無窮大時函數(shù)極限存在的充分必要條件。

(2) 了解極限的性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。

(3) 理解無窮小、無窮大以及無窮小的比較(高階、低階、同階和等價)的概念，會應 用無窮小與無窮大的關(guān)系、有界變量與無窮小的乘積、等價無窮小代換求極限。

(4) 掌握應用兩個重要極限求極限的方法。

(三)函數(shù)的連續(xù)性

1. 知識范圍

函數(shù)連續(xù)的概念  函數(shù)的間斷點  初等函數(shù)的連續(xù)性  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值與最小值定理、零點存在定理)及其簡單應用。

2. 考核要求

(1) 理解函數(shù)連續(xù)性概念，會判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性。

(2) 會求函數(shù)的間斷點。

(3) 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值與最小值定理、零點存在定理)。

(4) 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)和極限存在的關(guān)系，  會應用函數(shù)的連續(xù)性求極限。

(5) 會利用連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理及零點存在定理分析和解決較簡單的實際問題。

二、一元函數(shù)微分學

(一) 導數(shù)與微分

1. 知識范圍

導數(shù)與微分的概念  導數(shù)的幾何意義與物理意義函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系  平面 曲線的切線和法線 基本初等函數(shù)的導數(shù)導數(shù)與微分的四則運算  復合函數(shù)、隱函數(shù)以及 參數(shù)方程確定的函數(shù)的微分法 高階導數(shù)的概念 某些簡單函數(shù)的 n 階導數(shù) 微分運算法則 一階微分形式的不變性。

2. 考核要求

(1) 理解導數(shù)與微分的概念，理解導數(shù)的幾何意義，了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間 的關(guān)系，會求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)。

(2) 會求平面曲線的切線方程與法線方程。

(3) 掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，掌握導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則。

(4) 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)，會使用對數(shù)求導法。

(5) 了解高階導數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的 n 階導數(shù)。

(6) 掌握微分運算法則及一階微分形式不變性，了解可微與可導的關(guān)系，會求函數(shù)的 微分。

(二) 微分中值定理和導數(shù)的應用

1. 知識范圍

羅爾(Rolle)中值定理  拉格朗日(Lagrange)中值定理  洛必達(L’Hospital)法則  函數(shù) 單調(diào)性的判定  函數(shù)極值及其求法  函數(shù)最大值、最小值的求法及簡單應用  函數(shù)圖形的凹 凸性與拐點及其求法  函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線。

2. 考核要求

(1) 了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義。

(2) 掌握用洛必達法則求型未定式極限的方法。

(3) 掌握利用導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法。

(4) 理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值、最小值的求法 及簡單應用。

(5) 會判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點。

(6) 會求函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線。

(7) 會描繪簡單函數(shù)的圖形。

三、一元函數(shù)積分學

(一)不定積分

1.  知識范圍

原函數(shù)與不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 第一換元法 (即湊微 分法)  第二換元法 分部積分法 簡單有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分。

2.  考核要求

(1) 理解原函數(shù)與不定積分的概念。

(2) 理解不定積分的基本性質(zhì)。

(3) 掌握不定積分的基本公式。

(4) 掌握不定積分的第一換元法、第二換元法 (限于三角代換與簡單的根式代換) 和 分部積分法。

(二) 定積分

1.  知識范圍

定積分的概念和性質(zhì) 變上限定積分及其導數(shù) 牛頓-萊布尼茨 (Newton-Leibniz ) 公式 定積分的換元法和分部積分法 定積分的應用 (平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，物理學中 的簡單應用)   無窮區(qū)間的廣義積分的概念與計算。

2.  考核要求

(1) 理解定積分的概念，理解定積分的基本性質(zhì)。

(2) 理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其求導定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

(3) 掌握定積分的換元法和分部積分法。

(4) 掌握用定積分求平面圖形的面積、簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積及定積分在物理學中的簡單應用。

(5) 了解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，會計算無窮區(qū)間的廣義積分。

四、向量代數(shù)與空間解析幾何

( 一) 向量代數(shù)

1.  知識范圍

向量的概念  向量的坐標表示  方向余弦  單位向量  向量的線性運算  向量的數(shù)量積與向量積及其運算  兩向量的夾角  兩向量垂直、平行的充分必要條件。

2.  考核要求

(1) 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示； 了解單位向量、向量的模與方 向余弦，向量在坐標軸上的投影。

(2) 掌握向量的線性運算、數(shù)量積、向量積，以及用坐標表達式進行向量運算的方法。

(3) 掌握兩向量平行、垂直的條件，會求兩向量的夾角。

(二) 平面與直線

1.  知識范圍

平面點法式方程和一般式方程  點到平面的距離  空間直線的標準式 (又稱對稱式或點 向式)方程、一般式(又稱交面式)方程和參數(shù)式方程  直線與直線、直線與平面、平面與平 面平行、垂直的條件和夾角。

2.  考核要求

(1) 掌握平面的方程，會判定兩平面平行、垂直或重合。

(2) 會求點到平面的距離。

(3) 掌握空間直線的標準式方程、一般式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直或重合。

(4) 會判定直線與平面間的位置關(guān)系(垂直、平行、斜交或直線在平面上)。

(三)曲面的方程

1. 知識范圍

曲面方程的概念  球面  母線平行于坐標軸的柱面  旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面  常用二次曲面。

2. 考核要求

(1) 了解曲面方程的概念。了解母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程及其圖形。

(2) 了解球面、橢球面、圓柱面、圓錐面和旋轉(zhuǎn)拋物面等常用二次曲面的方程及其圖形。

五、多元函數(shù)微分學

1. 知識范圍

多元函數(shù)的概念  二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念  偏導數(shù)、全微分的概念  全微分存在 的必要條件與充分條件  二階偏導數(shù)  復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法  偏導數(shù)的幾何應用  多 元函數(shù)的極值、條件極值的概念  多元函數(shù)極值的必要條件 二元函數(shù)極值的充分條件  極 值的求法  拉格朗日乘數(shù)法。

2. 考核要求

(1) 理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義和定義域；了解二元函數(shù)極限與 連續(xù)概念(對計算不作要求)。

(2) 理解偏導數(shù)的概念，了解全微分的概念和全微分存在的必要條件和充分條件。

(3) 掌握二元初等函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算方法，會求全微分。

(4) 掌握復合函數(shù)一、二階偏導數(shù)的計算方法(含抽象函數(shù))。

(5) 掌握由方程F(x, y) = 0 所確定的隱函數(shù)z = z(x, y) 的一階、二階偏導數(shù)的求法。

(6) 會求空間曲面的切平面方程和法線方程。

(7) 會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求二元函數(shù)的最大值、 最小值并會解一些簡單的應用問題。

六、多元函數(shù)積分學

( 一) 二重積分

1.知識范圍

二重積分的概念及性質(zhì)  二重積分的計算  二重積分的幾何應用。

2.考核要求

(1) 理解二重積分的概念，了解其性質(zhì)。

(2) 掌握二重積分 (直角坐標系，極坐標系) 的計算方法。

(3) 會在直角坐標系內(nèi)交換兩次定積分的次序。

(4) 會用二重積分求空間曲面所圍成立體的體積。

(二) 曲線積分

1.知識范圍

對坐標的平面曲線積分的概念及性質(zhì)  對坐標的平面曲線積分的計算  格林 (Green)公式  平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

2.考核要求

(1) 理解對坐標的平面曲線積分的概念及性質(zhì)。

(2) 掌握對坐標的曲線積分的計算方法。

(3) 掌握格林公式，會應用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

七、無窮級數(shù)

( 一) 常數(shù)項級數(shù)

1.知識范圍

常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散的概念  收斂級數(shù)的和 級數(shù)收斂的基本性質(zhì)和必要條件  正項 級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法 交錯級數(shù)的萊布尼茨 (Leibniz ) 判別法 絕對收斂 與條件收斂。

2.考核要求

(1) 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念。理解級數(shù)收斂的必要條件 和基本性質(zhì)。

(2) 掌握幾何級數(shù)的斂散性。

(3) 掌握調(diào)和級數(shù)的斂散性。

(4) 掌握正項級數(shù)的比值判別法，會用正項級數(shù)的比較判別法。

(5) 會用萊布尼茨判別法判定交錯級數(shù)收斂。

(6) 了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會判定任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

(二) 冪級數(shù)

1.知識范圍

冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域  冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)  函數(shù)的馬克勞林 (Maclaurin ) 展開式。

2.考核要求

(1) 了解冪級數(shù)的概念。

(2) 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) (逐項求和，逐項求導與逐項積分) 。

(3) 掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的方法 (包括端點處的收斂性) 。

(4) 會運用的馬克勞林展開式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為 x

或的冪級數(shù)。

八、常微分方程

( 一) 微分方程基本概念

1.知識范圍

常微分方程的概念  微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

2. 考核要求

(1) 了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。

(2) 會驗證常微分方程的解、通解和特解。

(3) 會建立一些微分方程，解決簡單的應用問題。

(二) 一階微分方程

1. 知識范圍

一階可分離變量微分方程  一階線性微分方程。

2. 考核要求

(1) 掌握一階可分離變量微分方程的解法。

(2) 會用公式法解一階線性微分方程。

(三) 二階線性微分方程

1. 知識范圍

二階線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非 齊次線性微分方程。

2. 考核要求

(1) 了解二階線性微分方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)。

(2) 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

(3) 掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的形式，其中自由項限定為( a , b , A ,B 是常數(shù)) ，并會求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解。

九、線性代數(shù)

( 一)  行列式

1.知識范圍

行列式的概念  余子式和代數(shù)余子式  行列式的性質(zhì)  行列式按一行 (列) 展開定理克萊姆 (Cramer) 法則及推論。

2.考核要求

(1) 了解行列式的定義，理解行列式的性質(zhì)。

(2) 理解行列式按一行 (列) 展開定理。

(3) 掌握計算行列式的基本方法。

(4) 會用克萊姆法則及推論解線性方程組。

(二) 矩陣

1.知識范圍

矩陣的概念  矩陣的線性運算  矩陣的乘法  矩陣的轉(zhuǎn)置  單位矩陣  對角矩陣  三角 形矩陣  方陣的行列式  方陣乘積的行列式  逆矩陣的概念  矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣  矩陣的初等變換  矩陣的秩  初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。

2.考核要求

(1) 了解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣和三角形矩陣。

(2) 掌握矩陣的線性運算、乘法和矩陣的轉(zhuǎn)置。

(3) 會用伴隨矩陣法求二、三階方陣的逆矩陣。

(4) 理解矩陣秩的概念，會用初等變換法求矩陣的秩和逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。

(三) 線性方程組

1.知識范圍

向量的概念  向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)  向量組的極大無關(guān)組  向量組的秩與矩陣 的秩的關(guān)系 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次線性方程組有解的充分必要 條件 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 非齊次線性方程組的通解 用行初等變換求解線 性方程組的方法。

2.考核要求

(1) 理解 n 維向量的概念，理解向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義，了解向量組的極 大無關(guān)組和向量組的秩的概念。

(2) 了解判別向量組的線性相關(guān)性的方法。

(3) 會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，會求齊次線性方程組和非齊次線性方程組的一 般解和通解。

(4) 會建立線性方程組，解決簡單的應用問題。