?2023年上海第二工業(yè)大學專升本高等數(shù)學一考試大綱

2023年上海第二工業(yè)大學專升本高等數(shù)學一考試大綱

本考試大綱是針對報考理工類專業(yè)的考生參加專升本入學考試而特別制定?？荚噧?nèi)容包括一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、微分方程和無窮級數(shù)等。考試時間2小時，滿分150分。

一、考試內(nèi)容與考試要求

函數(shù)、極限與連續(xù)

（一）考試內(nèi)容

函數(shù)的概念與基本特性；數(shù)列、函數(shù)極限；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小的概念與階的比較；函數(shù)的連續(xù)性和間斷點；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）考試要求

1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性。了解反函數(shù)的概念；理解復合函數(shù)的概念。理解初等函數(shù)的概念。會建立簡單實際問題的函數(shù)關系。

2．理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念；了解極限性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性）。

3．掌握函數(shù)極限的運算法則；熟練掌握極限計算方法。會用兩個重要極限求極限。

4．了解無窮小、無窮大、高階無窮小、等價無窮小的概念，會用等價無窮小求極限。

5．理解函數(shù)連續(xù)的概念；了解函數(shù)間斷點的概念，會判別間斷點的類型（第一類可去、跳躍間斷點與第二類間斷點）。

6．了解初等函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會用性質(zhì)證明一些簡單結(jié)論。

導數(shù)與微分

（一）考試內(nèi)容

導數(shù)概念及求導法則；隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)；高階導數(shù)；微分的概念與運算法則。

（二）考試要求

1．理解導數(shù)的概念及幾何意義，了解函數(shù)可導與連續(xù)的關系，會求平面曲線的切、法線方程。

2．掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則；掌握基本初等函數(shù)的求導公式，會熟練求函數(shù)的導數(shù)。

3．掌握隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導方法（一階）；掌握對數(shù)求導法。

4．了解高階導數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導數(shù)的求法。會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。

5．理解微分的概念，了解微分的運算法則和一階微分形式不變性，會求函數(shù)的微分。

中值定理與導數(shù)應用

（一）考試內(nèi)容

羅爾中值定理、拉格朗日中值定理；洛必達法則；函數(shù)單調(diào)性與極值、曲線凹凸性與拐點。

（二）考試要求

1．理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理；會用中值定理證明一些簡單的結(jié)論。

2．掌握用洛必達法則求等不定式極限的方法。

3．理解函數(shù)極值概念，掌握用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；會利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式；會求較簡單的最大值和最小值的應用問題。

4．會用導數(shù)判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

不定積分

（一）考試內(nèi)容

原函數(shù)與不定積分概念，不定積分換元法，不定積分分部積分法。

（二）考試要求

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念和性質(zhì)。

2．掌握不定積分的基本公式、換元積分法和分部積分法（淡化特殊積分技巧的訓練，對于有理函數(shù)積分的一般方法不作要求，對于一些簡單有理函數(shù)可作為兩類積分法的例題作適當訓練）。

定積分及其應用

（一）考試內(nèi)容

定積分的概念和性質(zhì)，積分變上限函數(shù)，牛頓－萊布尼茲公式，定積分的換元積分法和分部積分法，無窮區(qū)間上的廣義積分；定積分的應用——求平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體體積。

（二）考試要求

1．理解定積分的概念，了解定積分的性質(zhì)和積分中值定理。

2．理解積分變上限函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握牛頓－萊布尼茲公式，能正確運用該公式計算定積分。

3．掌握定積分的換元法和分部積分法。

4．了解定積分的元素法，會計算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。

5．理解無窮區(qū)間上廣義積分的概念，并會求無窮區(qū)間上的廣義積分。

微分方程

（一）考試內(nèi)容

微分方程的基本概念，可分離變量微分方程與齊次方程，一階線性微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程。

（二）考試要求

1．了解微分方程以及微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．掌握可分離變量微分方程的解法。

3．會解齊次方程（可轉(zhuǎn)化為可分離變量微分方程的方法）。

4．了解一階線性微分方程的常數(shù)變異法，掌握一階線性微分方程的解法。

5．了解二階線性微分方程解的結(jié)構，掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解方法。

6．會用待定系數(shù)法求自由項為簡單函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解方法。

空間解析幾何向量代數(shù)

（一）考試內(nèi)容

空間直角坐標系、向量及其運算、空間平面及其方程、空間直線及其方程、二次曲面。

（二）考試要求

1．理解空間直角坐標系的概念，理解向量的概念及其表示；會求空間兩點的距離。

2．掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3．會求平面方程、直線方程。

4．掌握平面與平面、直線與平面、直線與直線平行與垂直的條件，會求點到平面的距離。

5．了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形。

多元函數(shù)微分學

（一）考試內(nèi)容

二元函數(shù)概念、二元函數(shù)極限、連續(xù)，偏導數(shù)、全微分、多元函數(shù)的求導法則，隱函數(shù)求導公式，多元函數(shù)微分學的幾何應用，多元函數(shù)極值。

（二）考試要求

1．理解二元函數(shù)的概念，了解多元函數(shù)的概念。

2．了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念，會求一些簡單二元函數(shù)的極限。

3．理解二元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。掌握多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的計算方法。

4．掌握多元復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法。

5．會求隱函數(shù)的一階偏導數(shù)。

6．了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線等概念，并會求它們的方程。

7．理解二元函數(shù)極值與條件極值的概念，會求簡單的二元函數(shù)的極值。了解拉格朗日乘數(shù)法，會求一些比較簡單的最大值與最小值的應用問題。

多元函數(shù)積分學

（一）考試內(nèi)容

二重積分與三重積分的概念與性質(zhì)、二重積分與三重積分的計算。曲線積分、格林公式。

（二）考試要求

1．理解二重積分的概念與性質(zhì)。

2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。

3．了解三重積分的概念。會計算簡單的三重積分（直角坐標、柱面坐標）。

4．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系，掌握兩類曲線積分的計算方法。

5．掌握格林公式，掌握平面曲線積分與路徑無關的條件及應用。

無窮級數(shù)

（一）考試內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別；冪級數(shù)的概念和性質(zhì)，函數(shù)的冪級數(shù)展開。

（二）考試要求

1．理解無窮級數(shù)以及收斂、發(fā)散、和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級數(shù)和級數(shù)的收斂性。

3．掌握正項級數(shù)的比值審斂法，了解正項級數(shù)的比較審斂法。

4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，理解絕對收斂與條件收斂的概念，會判斷交錯級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

5．理解冪級數(shù)的概念，掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域及和函數(shù)的求法。

6．會利用的麥克勞林展開式將一些簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)。

二、參考教材

高等數(shù)學（第七版，上、下冊），同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社

高等數(shù)學附冊 學習輔導與習題選解，同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社

高等數(shù)學習題全解指南（上、下冊），同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社

三、考試細則

《高等數(shù)學一》各部分內(nèi)容在試卷中所占比例為：一元函數(shù)微積分50％左右，多元函數(shù)微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)30％左右，微分方程10％左右，級數(shù)10％左右。

試卷題型包括選擇題、填空題、解答題和證明題。選擇題和填空題占總分的40％左右，解答題占總分的50％左右，證明題占總分的10%。

考試不允許攜帶計算器。