?廣東2022年專升本數(shù)學專業(yè)綜合考試大綱

廣東2022年專升本數(shù)學專業(yè)綜合考試大綱

I.考試范圖

數(shù)學分析

一、實數(shù)集與函數(shù)

實數(shù)，數(shù)集確界原理，函數(shù)概念，具有某些特性的函數(shù).

二、極限

數(shù)列極限概念，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件，函數(shù)極限概念，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限存在的條件，兩個重要的極限，無窮小量與無窮大量.

三、函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)性概念，連續(xù)面數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。

四、導(dǎo)數(shù)和微分

導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則，參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分.

五、微分中值定理及其應(yīng)用

拉格朗8定理和函數(shù)的單調(diào)性，柯西中值定理和不定式極限，泰勒公式，函數(shù)的極值與最大(小)值，函數(shù)的凸性與拐點，函數(shù)圖像的討論，方程的近似解，

六、實數(shù)的完備性

關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理，上極限和下極限.

七、不定積分

不定積分概念與基本積分公式,換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分。

八、定積分及應(yīng)用

定積分概念，牛頓-萊布尼茨公式，可積條件，定積分的性質(zhì)，微積分學基本定理，定積分計算(續(xù))，可積性理論補敘，平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長與曲率,旋轉(zhuǎn)曲面的面積，定積分在物理中的某些應(yīng)用，定積分的近似計算，

九、反常積分

反常積分概念，無窮積分的性質(zhì)與收斂判別，瑕積分的性質(zhì)與收斂判別.

十、級數(shù)

級數(shù)的收斂性，正項級數(shù)，一般項級數(shù)，一致收斂性，一致收斂函數(shù)列 與麗數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開，復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)，歐拉公式，傅里葉級數(shù)，以21為周期的函數(shù)的展開式，收斂定理的證明.

十一、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面點集與多元函數(shù)，二元函數(shù)的極限，二元函數(shù)的連續(xù)性.

十二、多元函數(shù)微分學

可微性，復(fù)合函數(shù)微分法，方向?qū)?shù)與梯度，泰勒公式與極值問題.

十三、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

隱函數(shù)，隱函數(shù)組，幾何應(yīng)用，條件極值.

十四、含參量積分

含參量正常積分，含參量反常積分，歐拉積分.

十五、曲線積分

第一型曲線積分，第二型曲線積分，

十六、重積分

二重積分的概念，直角坐標系下二重積分的計算，格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性，二重積分的變量變換，三重積分，重積分的應(yīng)用，n重積分，反常二重積分，在一般條件下重積分變量變換公式的證明.

十七、曲面積分

第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式與斯托克斯公式，場論初步.

十八、向量函數(shù)微分學

n維歐氏空間與向量函數(shù)，向量函數(shù)的微分，反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理

高等代數(shù)

一、多項式

多項式及其運算，整除性理論，最大公因式，因式分解定理，重因式，復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式.

二、行列式

n階行列式的定義，行列式的性質(zhì)，列式按行(列)展開公式，行列式的計算，矩陣的初等變換，階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣，克萊姆法則.

三、線性方程組

線性方程組的初等變換，n維向量空間，線性相關(guān)性，向量組的級大線性無關(guān)組和秩，矩陣的秩，線性方程組的有解判別定理與解的結(jié)構(gòu),

四、矩陣

矩陣的運算，矩陣的分塊，矩陣的逆，正交矩陣，等價矩陣，初等矩陣與初等交換的關(guān)系。

五、二次型

二次型及其矩陣表示，化二次型為標準形，復(fù)二次型和實二次型的規(guī)范形，正定二次型，其他有定二次型.

六、線性空間

集合、映射，線性空間的定義和簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，線性空間的同構(gòu).

七、線性變換.

線性變換的定義和簡單性質(zhì)，線性變換的運算，線性變換在給定基下的矩陣，矩陣的相似，線性變換的特征值與特征向量，矩陣的對角化，不變子空間，若當標準形，

八、歐氏空間

歐氏空間的定義與簡單性質(zhì)，度量矩陣、施密特正交化過程、標準正交基，子空間的正交補，歐氏空間的同構(gòu)，正交變換、對稱變換與對稱矩陣，最小二乘法，

九、雙線性函數(shù)

雙線性函數(shù)、對偶空間，線性空間上的二次齊次函數(shù).

解析幾何

一、向量和坐標

向量的概念，向量的加法，數(shù)量乘向量，向量的線性關(guān)系與向量的分解，標架與坐標，向量在軸上的射影，兩向量的數(shù)量積，兩向量的向量積，三向量的混合積，三向量的雙重向量積

二、軌跡與方程

平面曲線的方程，曲面的方程，空間曲線的方程.

三、平面與空間直線

平面的方程，平面與點的相關(guān)位置，兩平面的相關(guān)位置，空間直線的方程，直線與平面的相關(guān)位置，空間直線與點的相關(guān)位置，空間兩直線的相關(guān)位置，平面束

四、柱面、維面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)曲面，橢球面，雙曲面，拋物面，單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線

五、二次曲線的一般理論

二次曲線與直線的相關(guān)位置，二次曲線的漸近方向、中心、漸近線，二次曲線的切線，二次曲線的直徑，二次曲線的主直徑與主方向，二次曲線方程的化簡與分類，應(yīng)用不變量化簡二次曲線的方程.

II.參考書目

1.華東師范大學數(shù)學系編:《數(shù)學分析》(第四版) (上、下冊)，北京:高等教育出版社,2010年

2.北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，王尊芳、石生明修訂:《高等代數(shù)》(第四版)，北京:高等教育出版社，2013年.

3.呂林根、許子道編:《解析幾何》(第五版)，北京:高等教育出版社，2019 年.