?2021年上海理工大學專升本《高等數(shù)學》科目考試大綱

一、考試的內(nèi)容及要求

(一)函數(shù)與極限

理解函數(shù)的概念及表示法;了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性、反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)、函數(shù)的左右極限、無窮小、無窮大和無窮小與無窮大之間的關(guān)系等概念，掌握無窮小的比較和極限的四則運算法則;熟悉極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則;會用兩個重要極限求極限;掌握羅必達(L’Hopsital)法則;了解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，會討論函數(shù)在一點處的連續(xù)性(如分段函數(shù))，會判斷間斷點的類型;了解初等函數(shù)的連續(xù)性，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大值、最小值定理)。

(二)一元函數(shù)微分法及應用

了解導數(shù)與微分的概念，清楚導數(shù)的幾何定義和物理意義，會用導數(shù)定義求極限;了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系;熟練掌握導數(shù)和微分的運算法則;熟練計算初等函數(shù)的一階、二階導數(shù);掌握隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)的一階、二階導數(shù)的求法;理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理;掌握判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法，會確定簡單函數(shù)圖形的凹凸性和拐點;會利用導數(shù)證明簡單不等式;會求解簡單的最大值與最小值問題。

(三)一元函數(shù)積分法及應用

理解不定積分的概念及其與原函數(shù)的關(guān)系;熟練掌握不定積分的基本積分公式和不定積分的換元法與分部積分法;理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)(含積分中值定理);掌握變上限定積分求導公式，熟練掌握牛頓——萊布尼茲公式;掌握定積分的換元法和分部積分法;了解反常積分的概念，并會計算簡單的反常積分;理解定積分的元素法，會用定積分表達和計算一些幾何量(如面積、體積)。

(四)微分方程

能識別變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利(Bernoulli)方程，并掌握它們的解法;了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu);熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并知道高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法;掌握自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。

(五)向量代數(shù)與空間解析幾何

掌握向量的運算(線性運算、點積、叉積);熟練掌握用坐標表達式進行向量運算;熟練掌握平面和直線的方程及其求法;掌握平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角公式，以及點到平面的距離公式;了解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其圖形，掌握以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行坐標軸的柱面方程;了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會求空間曲線在坐標面上的投影曲線的方程。

(六)多元函數(shù)微分法及其應用

理解多元函數(shù)的概念;知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念以及閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);理解偏導數(shù)、全微分等概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件;熟練掌握復合函數(shù)的求導法，會求二階偏導數(shù);會求多元函數(shù)的極值(含拉格朗日乘法)，會求解一些簡單的最大值與最小值的問題。

二、參考書目

《高等數(shù)學》(第七版) 同濟大學應用數(shù)學系 高等教育出版社。

三、考試時間

120 分鐘。