?2021年江西專升本豫章師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)一科目考試大綱

總體要求

考生應(yīng)按照本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)與極限、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念與基本理論。學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力;能運(yùn)用基本概念、基本理論、基本性質(zhì)和基本方法進(jìn)行推理證明和計(jì)算;能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次;對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。

一、函數(shù)、極限和連續(xù)

(一)函數(shù)

1.知識(shí)范圍

(1)函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù);

(2)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、周期性;

(3)反函數(shù)：反函數(shù)的定義、反函數(shù)的圖象;

(4)函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算;

(5)基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù);

(6)初等函數(shù)。

2.要求

(1)理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式、函數(shù)值和值域，會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像;

(2)理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會(huì)判斷所給函數(shù)的類別;

(3)了解函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖象)，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù);

(4)理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程;

(5)掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象;

(6)了解初等函數(shù)的概念。

(二)極限

1.知識(shí)范圍

(1)數(shù)列極限的概念：數(shù)列、數(shù)列極限的定義;

(2)數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性、四則運(yùn)算定理、夾逼定理、單調(diào)有界定理、數(shù)列極限存在定理;

(3)函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處的極限定義左、右極限及其與極限的關(guān)系x趨于無(wú)窮(x→∞，x→+∞，x→-∞)時(shí)函數(shù)的極限，函數(shù)極限的幾何意義 ;

(4)函數(shù)極限的定理：唯一性定理、局部保號(hào)性定理、夾逼定理、單調(diào)有界定理、四則運(yùn)算定理、復(fù)合函數(shù)極限定理;

(5)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)、兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較;

(6)兩個(gè)重要極限。

2.要求

(1)理解極限的概念(對(duì)極限定義中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求)，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件;

(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限法則;

(3)理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)，了解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價(jià))，熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限;

(4)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

(三)連續(xù)

1.知識(shí)范圍

(1)函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類;

(2)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性;

(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理(包括零點(diǎn)定理);

(4)初等函數(shù)的連續(xù)性。

2.要求

(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系;

(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其類型;

(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、會(huì)運(yùn)用介值定理證明相關(guān)命題;

(4)理解初等函數(shù)連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

(一)導(dǎo)數(shù)與微分

1.知識(shí)范圍

(1)導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系;

(2)求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本公式;

(3)求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

(4)高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算;

(5)微分：微分的定義、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分法則、一階微分形式不變性。

2.要求

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);

(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程;

(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

(4)掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù);

(6)理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

(二)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.知識(shí)范圍

(1)中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

(2)洛必達(dá)法則;

(3)函數(shù)單調(diào)性的判定方法;

(4)函數(shù)極值與極值點(diǎn)、最大值與最小值;

(5)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)。

2.要求

(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及它們的幾何意義，會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性，會(huì)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式或等式;

(2)熟練掌握洛必達(dá)法則，會(huì)求“0/0”、“∞/∞”、“0·∞”、“∞-∞”、“1∞”，“∞0”和“00”型未定式的極限;

(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式;

(4)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題;

(5)會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線拐點(diǎn)坐標(biāo)。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

(一)不定積分

1.知識(shí)范圍

(1)不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)存在定理、不定積分的性質(zhì);

(2)基本積分公式;

(3)換元積分法第一換元法(湊微分法)、第二換元法;

(4)分部積分法。

2.要求

(1)理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理;

(2)熟練掌握不定積分的基本公式;

(3)熟練掌握不定積分第一換元法和第二換元法;

(4)熟練掌握不定積分的分部積分法;

(5)會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

(二)定積分

1.知識(shí)范圍

(1)定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義;

(2)定積分的性質(zhì);

(3)定積分的計(jì)算：變上限的定積分、牛頓一萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法;

(4)無(wú)窮區(qū)間的廣義積分。

2.要求

(1)理解定積分的概念與幾何意義;

(2)掌握定積分的基本性質(zhì);

(3)理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導(dǎo)的方法;

(4)掌握牛頓一萊布尼茨公式;

(5)熟練掌握定積分的換元積分法與分部積分法;

(6)理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

四、無(wú)窮級(jí)數(shù)

(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.知識(shí)范圍

(1)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的必要條件;

(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法：比較判別法、比值判別法、根值判別法;

(3)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂。

2.要求

(1)理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì);

(2)熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、比值判別法、根值判別法，會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性;

(3)掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的斂散性;

(4)了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)使用菜布尼茨判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性。

(二)冪級(jí)數(shù)

(1)冪級(jí)數(shù)的概念：收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域;

(2)冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì);

(3)將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。

2.要求

(1)了解冪級(jí)數(shù)的概念;

(2)了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積);

(3)掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域的方法;

(4)會(huì)運(yùn)用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麥克勞林級(jí)數(shù)，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開為x或x-x0的冪級(jí)數(shù)。

試卷總分：150分

考試時(shí)間：150分鐘

試卷內(nèi)容比例

函數(shù)、極限和連續(xù)約30%，一元函數(shù)微分學(xué)約30%，一元函數(shù)積分學(xué)約30%，無(wú)窮級(jí)數(shù)約10%。

試卷題型比例

選擇題約15%，填空題約25%，計(jì)算題約40%，綜合題約20%。

試題難易比例

容易題約40%，中等難度題約50%，較難題約10%。

主要參考書

高等數(shù)學(xué)第七版上、下冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)編，高等教育出版社。